长方体礼品包装所需的最少包装纸面积是 5600平方厘米。具体计算如下：
1. 前后面面积：长 x 高 x 2 = 40cm x 15cm x 2 = 1200平方厘米
2. 左右面面积：宽 x 高 x 2 = 40cm x 15cm x 2 = 1200平方厘米
3. 上下面面积：长 x 宽 x 2 = 40cm x 40cm x 2 = 3200平方厘米
总面积 = 1200平方厘米 + 1200平方厘米 + 3200平方厘米 = 5600平方厘米。
建议在实际应用中，根据具体礼品的尺寸和形状，可能需要稍微多一些的包装纸以确保包装的完整性和美观性。
