要证明一个函数在某一点连续，需要满足以下三个条件：
函数在该点有定义 ：函数在点 （ x_0 ） 处必须有定义，即 （ f（x_0） ） 存在。函数在该点的极限存在：
需要计算函数在点 （ x_0 ） 处的左极限和右极限，并且这两个极限必须相等。左极限是当 （ x ） 从左侧趋近于 （ x_0 ） 时 （ f（x） ） 的极限，记为 （ lim_{x to x_0^-} f（x） ）；右极限是当 （ x ） 从右侧趋近于 （ x_0 ） 时 （ f（x） ） 的极限，记为 （ lim_{x to x_0^+} f（x） ）。要求 （ lim_{x to x_0^-} f（x） = lim_{x to x_0^+} f（x） ）。
函数在该点的极限值等于该点的函数值：
需要满足 （ lim_{x to x_0} f（x） = f（x_0） ）。
总结起来，证明函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 连续需要验证以下四个条件：
1. （ f（x_0） ） 存在。
2. （ lim_{x to x_0^-} f（x） ） 存在。
3. （ lim_{x to x_0^+} f（x） ） 存在。
4. （ lim_{x to x_0^-} f（x） = lim_{x to x_0^+} f（x） = f（x_0） ）。
如果以上四个条件都满足，那么就可以说函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 连续。
证明方法
基本方法
：直接求出分段函数在某点的左右极限值，如果左极限等于右极限且等于函数在该点的函数值，则说明函数在该点连续。
图像法：画出分段函数的图像，如果图像是一条连续不断的曲线，则该函数连续；如果图像在某点断开，则函数在该点不连续。
定义法：若一个函数在该点处可导，则一定连续。因为可导必连续，而连续不一定可导。
例子
假设我们要证明函数 （ f（x） = begin{cases}
x^2 & text{if } x geq 0
0 & text{if } x < 0
end{cases} ） 在 （ x = 0 ） 处连续。
函数在该点有定义：
显然 （ f（0） = 0 ） 存在。
计算极限
左极限 （ lim_{x to 0^-} f（x） = lim_{x to 0^-} 0 = 0 ）
右极限 （ lim_{x to 0^+} f（x） = lim_{x to 0^+} x^2 = 0 ）
极限值等于函数值：
由于 （ lim_{x to 0^-} f（x） = lim_{x to 0^+} f（x） = f（0） = 0 ），所以函数在 （ x = 0 ） 处连续。
通过以上步骤和验证，我们可以得出函数在该点连续的结论。
