要证明一个函数在某点连续，需要满足以下三个条件：
函数在该点有定义：
即函数在点 （ c ） 处有定义，意味着 （ f（c） ） 存在。
函数在该点的极限存在：
即左极限和右极限都存在且相等，用数学符号表示为：
[
lim_{{x to c^-}} f（x） = lim_{{x to c^+}} f（x） = L
]
函数的极限值等于函数在该点的函数值：
即
[
lim_{{x to c}} f（x） = f（c）
]
当这三个条件同时满足时，我们称函数 （ f（x） ） 在点 （ c ） 处连续。
证明方法
1. ε-δ 定义
这是证明函数连续的常用方法。给定任意一个正数 ε > 0，存在一个正数 δ > 0，使得当 0 < |x - c| < δ 时，有 |f（x） - f（c）| < ε。数学表达式为：
[
forall epsilon > 0, exists delta > 0, text{当} , 0 < |x - c| < delta , text{时}, , |f（x） - f（c）| < epsilon
]
2. 极值定理
极值定理也可以用来证明函数的连续性。如果函数在某点的某个邻域内存在最大值和最小值，并且在该点连续，则该函数在该区间内必定连续。
例子
假设我们要证明函数 （ f（x） = frac{x^2 - 4}{x - 2} ） 在 （ x = 2 ） 处是否连续。
函数在 （ x = 2 ） 处是否有定义？
不，函数在 （ x = 2 ） 处没有定义，因为分母为零。
函数在 （ x = 2 ） 处的极限是否存在？
通过直接代入 （ x = 2 ） 可以看出，函数在该点没有极限。
由于函数在 （ x = 2 ） 处既没有定义，也没有极限，因此我们可以得出结论：函数 （ f（x） = frac{x^2 - 4}{x - 2} ） 在 （ x = 2 ） 处不连续。
结论
要证明一个函数在某点连续，需要严格满足上述三个条件。通过 ε-δ 定义或极值定理等方法，可以验证函数是否满足这些条件。在实际应用中，选择合适的证明方法取决于具体问题的性质和所给条件。
